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Aug 07, 2023

Recocido cuántico para el equilibrio de la microestructura con largas

Informes científicos volumen 13,

Scientific Reports volumen 13, Número de artículo: 6036 (2023) Citar este artículo

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Detalles de métricas

Demostramos el uso y los beneficios de los enfoques de recocido cuántico para la determinación de microestructuras equilibradas en aleaciones con memoria de forma y otros materiales con interacción elástica de largo alcance entre granos coherentes y sus diferentes variantes y fases de martensita. Después de una ilustración unidimensional del enfoque general, que requiere formular la energía del sistema en términos de un hamiltoniano de Ising, usamos interacciones elásticas dependientes distantes entre granos para predecir la selección de variantes para diferentes tensiones propias de transformación. Los resultados y el rendimiento de los cálculos se comparan con los algoritmos clásicos, lo que demuestra que el nuevo enfoque puede conducir a una aceleración significativa de las simulaciones. Más allá de una discretización utilizando elementos cúbicos simples, también es posible una representación directa de microestructuras arbitrarias, lo que permite simulaciones rápidas con hasta varios miles de granos.

El modelado de microestructuras es un enfoque importante para la comprensión, mejora y desarrollo de nuevos materiales para diversas aplicaciones. Sin embargo, dado que los mecanismos en diferentes escalas de duración y tiempo están íntimamente relacionados, tales descripciones e implementaciones de modelos suelen ser desafiantes y requieren recursos computacionales masivos. Aunque los enfoques de simulación de campo de fase, el método más destacado para predecir la evolución de la microestructura, se benefician mucho de desarrollos como el límite de interfaz delgado1,2, los modelos de campo de fase no diagonal3,4 y los enfoques de campo de fase nítida5, simulaciones que contienen grandes dominios microestructurales para obtener predicciones con un cierto significancia estadística son raros, fuertemente limitados por los recursos de (super) computadora disponibles y sus costos asociados y consumo de energía. A pesar del enorme progreso en este campo de investigación y el uso extendido de computadoras paralelas y tarjetas gráficas para las simulaciones, las limitaciones de las técnicas computacionales siguen siendo un factor importante para el progreso científico básico y la investigación aplicada.

Una de las preguntas más llamativas que surge en el horizonte del modelado de la ciencia de los materiales es cómo la computación cuántica cambiará potencialmente el panorama de la simulación en el futuro. Sin embargo, en la actualidad aún no se dispone de una computadora cuántica de propósito general de tamaño suficiente. Mientras tanto, ha surgido una tecnología conocida como recocido cuántico (QA)6,7,8,9,10 y está disponible en varios sitios en todo el mundo. El uso de tales máquinas difiere significativamente de las computadoras tradicionales basadas en puertas y, por lo tanto, actualmente los recocidos cuánticos11 solo pueden manejar problemas específicos. El concepto de un recocido cuántico es que sus qubits se inicializan en un estado bien definido que se describe mediante un hamiltoniano con un estado fundamental único12. Durante la operación a temperaturas criogénicas, este hamiltoniano se cambia adiabáticamente de modo que el estado fundamental se convierte en el del hamiltoniano final deseado12,13 y, por lo tanto, permite realizar cálculos de minimización de energía global de manera eficiente. La estructura de estos hamiltonianos es un modelo cuadrático binario, que se puede expresar en términos de una optimización binaria cuadrática sin restricciones o, de manera equivalente, a través de un modelo de Ising11. Debido a esta estructura específica, hasta ahora, las aplicaciones de esta tecnología relacionadas con la ciencia de los materiales son todavía raras. En cambio, la investigación real se centra principalmente en las pruebas comparativas y de rendimiento del recocido cuántico en comparación con los enfoques clásicos14,15,16.

Recientemente se han desarrollado algunas primeras aplicaciones en el campo de la biología y la investigación del tráfico en el sentido de problemas de optimización. Aquí, el recocido cuántico permite el análisis eficiente de los factores de transcripción en la expresión génica con algoritmos de aprendizaje automático combinados17, la identificación de conformaciones de modelos de proteínas reticulares18 y su plegamiento19, la detección de la cubierta arbórea en imágenes aéreas20, los problemas de optimización del flujo de tráfico del mundo real21 o el control de sistemas automatizados. vehículos guiados22. Sin embargo, el uso del recocido cuántico en ciencia de materiales no está muy extendido y pocas publicaciones corresponden a transiciones de fase en el modelo de Ising de campo transversal23, la investigación de fenómenos críticos en imanes frustrados a través del modelo de Shastry-Sutherland Ising24, el muestreo de Monte-Carlo25 y el modelo automatizado diseño de materiales de metamateriales26. Por lo tanto, el propósito del presente documento es demostrar que esta nueva tecnología puede conducir a posibilidades completamente nuevas más allá de las descripciones existentes y comúnmente utilizadas para el modelado de microestructuras.

Para ser lo más explícito e ilustrativo posible, mostramos aquí el caso de transformaciones de estado sólido coherentes que involucran fases austeníticas y martensíticas, donde estas últimas pueden aparecer en diferentes variantes. Estas transiciones desempeñan un papel en las aleaciones con memoria de forma como el NiTi, que se puede deformar fácilmente a bajas temperaturas, pero el calentamiento a temperaturas más altas permite que el material vuelva a su forma previa27. El modelado y mapeo de aleaciones con memoria de forma para sistemas de vidrio giratorio se estableció previamente en varios estudios28,29,30,31 y aquí se puede aprovechar para aplicaciones de control de calidad. A continuación, nos ceñiremos principalmente a la terminología de las aleaciones con memoria de forma, pero enfatizaremos que se pueden usar enfoques similares para modelar, por ejemplo, el comportamiento de transformación y deformación en aceros, materiales ferroelásticos, así como cambios de fase en electrolitos sólidos para baterías recargables. El aspecto particular que juega un papel central aquí son las interacciones elásticas anisotrópicas de largo alcance, que son comunes para las transformaciones de estado sólido32 y, por lo tanto, la configuración del estado fundamental no solo depende de las concentraciones y fracciones de fase, sino también del arreglo microestructural detallado de fases y granos. En una simulación de campo de fase típica33, la evolución microestructural se resuelve junto con la relajación de las deformaciones mecánicas en el espíritu de una descripción continua, lo que conduce a tiempos de simulación muy largos. Aquí, mostramos que la separación de los grados de libertad discretos para la distribución variable de las fases martensíticas del desarrollo continuo de la microestructura y el tratamiento de control de calidad permiten aumentar drásticamente el rendimiento de los cálculos y, por lo tanto, simular sistemas relevantes para la aplicación significativamente más grandes. en comparación con los enfoques existentes.

Para un modelo 1D simplificado, consideramos solo una fase "martensítica" que se supone que existe en dos variantes diferentes. Por lo tanto, la microestructura consta de una línea de granos de estas variantes, como se muestra en el recuadro de la Fig. 1a. Para ser explícitos, asumimos que ambas variantes tienen una deformación libre de estrés (eigenstrain), lo que conduce a una deformación por corte en relación con la fase madre austenítica, y denotamos estas variantes mediante variables de estado \(s_i=\pm 1\). Como al final asignaremos la descripción a un modelo de Ising unidimensional, también usamos aquí la terminología de "giros" con dos posibles alineaciones en el espíritu de un modelo magnético. Como cada una de las variantes conduce a un cizallamiento de la celda, obtenemos una deformación general libre de tensión de esta línea (en comparación con la austenita libre de tensión de cizallamiento), dependiendo de la configuración de espín. Suponemos que todos los granos tienen la misma altura \(d\), las mismas constantes elásticas y la deformación propia de corte opuesta \(\pm \varepsilon _0\). Como se puede ver fácilmente en el recuadro de la Fig. 1a, la posición de equilibrio libre de tensión del grano superior \(x_0\) depende solo del número de variantes \(N_+\) con orientación \(s_i=+1\) y \(N_-\) con \(s_i=-1\), pero no en el arreglo individual, que es una particularidad del modelo 1D simplificado y la tensión propia elegida. Por lo tanto, para un número fijo \(N=N_++N_-\) de giros seguidos, la deformación macroscópica libre de tensión es \(\bar{\varepsilon } = (N_+ - N_-)\varepsilon _0/N\ ), lo que conduce a \(x_0 = N d \bar{\varepsilon }\). Si se impone una deformación externa, es decir, \(x\ne x_0\) la energía elástica es \(F_{el}=\mu _\text{eff} (x-x_0)^2\) con un módulo de corte efectivo \ (\mu _\text{ef}\). Obviamente, la energía elástica se minimiza si la configuración de espín es tal que \(x=x_0\), lo que implica \((N_+-N_-)_\text{min} = x/\varepsilon _0 d\), up hasta el punto de saturación, donde todos los espines están alineados. Esta expresión sirve como referencia para la comparación con los enfoques de minimización numérica a continuación. Notamos que descuidamos en esta etapa la naturaleza discreta de las variantes, lo que significa que el valor entero \(N_+-N_-\) debe ser lo más cercano posible al valor continuo \((N_+-N_-)_ \text{min}\) arriba. Aunque la energía en el modelo 1D simple no depende de la disposición de las variantes sino solo de los números totales \(N_+\) y \(N_-=N-N_+\), aquí formulamos el modelo en el nivel de los "spins" individuales \(s_i\) para la posterior extensión hacia dimensiones superiores y el uso del recocido cuántico. Por lo tanto obtenemos \(N_+ - N_- = \sum _i s_i\). Al insertar esto en la expresión de energía elástica, se obtiene \(F_\text{el} = \mu _\text{eff} \varepsilon _0^2d ^2 \sum_{i,j} s_i s_j - 2\mu _\text{ eff} x \varepsilon _0 d \sum _i s_i +\mu _\text{eff} x^2\), donde las sumas se ejecutan en todos los giros. Para la implementación en un recocido cuántico, necesitamos llevar esto a la forma de Ising de un hamiltoniano H con

donde el primer término corresponde a la interacción con un campo magnético externo \(h_i\) y el segundo término a una interacción espín-espín, lo que favorece el ordenamiento ferromagnético (antiferromagnético) en caso de que la constante de acoplamiento \(J_{ij}\) es negativo (positivo). El último término \(H_0\) independiente del espín es solo una constante aditiva irrelevante. De la comparación de las dos expresiones anteriores identificamos \(h_i = - 2\mu _\text{eff} x \varepsilon _0 d\) y \(J_{ij} = 2 \mu _\text{eff} \varepsilon _0^2 d ^2\). Primero, notamos que la deformación externa es aquí análoga al campo magnético en la descripción de Ising. En segundo lugar, el término de interacción espín-espín \(J_{ij}\) es positivo, por lo que favorece el "ordenamiento antiferromagnético". Además, este término es independiente de los números de espín i, j, lo que significa que esta interacción no depende de la distancia entre los granos. En otras palabras, la interacción elástica depende únicamente de la "magnetización" promediada \(N_+-N_-\), lo que implica una interacción de campo media.

El objetivo de la formulación es minimizar la energía elástica y encontrar el espín óptimo o configuración variante \(\{s_i\}\). Con este fin, usamos tres enfoques numéricos diferentes (consulte la sección de métodos) y los resultados se comparan con la solución analítica anterior: primero, un enfoque de fuerza bruta itera sobre todas las configuraciones de espín para encontrar exactamente el mínimo energético; segundo, usamos recocido simulado como buscador de estado fundamental probabilístico y, finalmente, el enfoque de recocido cuántico. La Fig. 1a muestra la "magnetización" resultante \((N_+-N_-)/N\), es decir, la orientación variante promedio, como función del desplazamiento aplicado \(x/d N\varepsilon _0\), que corresponde a la campo magnético en el modelo de Ising.

Resultados del modelo unidimensional comparando diferentes métodos numéricos y analíticos. (a) Orientación variante media \((N_+-N_-) / N\) como función del desplazamiento \(x / d N \varepsilon _0\). Comparación entre los resultados obtenidos por minimización numérica (línea continua) versus la teoría analítica para un sistema infinito y continuo (línea discontinua). Para grandes desplazamientos, todos los "espines" están alineados y, por lo tanto, la "magnetización" se satura. El recuadro muestra un boceto de la disposición unidimensional de las variantes de martensita \(s_i=+1\) (rojo) y \(s_i=-1\) (verde). La fila inferior está fijada en la posición \(x=0\), mientras que el grano superior tiene una posición media \(x_0\) en el estado libre de tensión. Si se aplica una tensión o tensión externa adicional, la capa superior se mueve a la posición x y toda la microestructura se corta a la configuración discontinua. (b) Tiempo de cálculo transcurrido en función del número de granos. Se comparan diferentes métodos y algoritmos. Las partes punteadas de la curva QA pertenecen al régimen de roturas de cadena. Para sistemas de gran tamaño, solo el enfoque de recocido cuántico híbrido sigue siendo factible, lo que muestra una necesidad de tiempo de cálculo casi constante para menos de 1000 variables de espín (recuadro).

Como era de esperar, los resultados concuerdan con la teoría analítica hasta el mencionado efecto de discretización, que se vuelve menos pronunciado para grandes números de granos. Para desplazamientos altos, la saturación se establece cuando todas las variantes se separan, lo que significa que todos los espines están en el estado \(+1\) o \(-1\). Observamos que para el número investigado de espines, todos los algoritmos utilizados conducen al mismo mínimo de energía, lo que confirma que también los enfoques probabilísticos encuentran los estados mínimos globales.

La Fig. 1b muestra el tiempo de cálculo requerido para los diferentes métodos y algoritmos en función del número de granos N. Todas las implementaciones de algoritmos convencionales se basan en cálculos de un solo núcleo sin paralelización y se muestran principalmente para una comparación cualitativa, como el enfoque de la investigaciones se basa en el enfoque de recocido cuántico. Para este último, usamos implementaciones de unidades de procesamiento cuántico (QPU) hasta el mayor número posible de espines (típicamente \(N\approx 170\) para la arquitectura Pegasus34 de una máquina D-Wave). El enfoque de fuerza bruta, donde se ejecutan iteraciones sobre todas las configuraciones de espín, tiene el tiempo de cálculo más alto. Incluso en sistemas de espín pequeños de alrededor de \(N\approx 40\), el tiempo de usuario transcurrido fue demasiado grande para aplicaciones prácticas debido a la escala de tiempo de simulación \(\sim {{\mathcal {O}}}(2^N)\ ). El método de recocido cuántico puro produce los resultados más rápidos y termina con un tiempo de acceso QPU transcurrido casi constante. En general, los cálculos para \(N\approx 150\) son aproximadamente tres órdenes de magnitud más rápidos que para los otros enfoques clásicos. Más allá de alrededor de \(N\approx 50\) giros, las llamadas rupturas de cadena35 ocurren ocasionalmente. Son el resultado de la necesidad de codificar espines fuertemente acoplados como un solo espín lógico. Idealmente, estos giros deberían representar el mismo estado que los giros individuales, pero en la práctica esta identidad puede violarse. Para evitar este problema y simular sistemas aún más grandes, que son esenciales para el modelado de mayor dimensión en las siguientes secciones, se pueden utilizar enfoques híbridos de recocido cuántico y clásico, que combinan control de calidad puro con enfoques de minimización convencionales36. Los resultados numéricos de la Fig. 1b muestran un aumento del tiempo de cálculo del solucionador híbrido en comparación con el QA puro, pero la aceleración relativa en comparación con los algoritmos clásicos se vuelve aún más sorprendente. Para el solucionador híbrido, el tiempo de cálculo transcurrido es esencialmente independiente del número de variables de espín y aumenta solo más allá de \(10^3\) granos a varios segundos. En conjunto, el control de calidad híbrido es claramente el enfoque más rápido para grandes cantidades de granos y, por lo tanto, se utiliza en las siguientes simulaciones bidimensionales.

Para la determinación de la energía elástica lineal más allá de una dimensión, consideramos precipitados coherentes de diferentes variantes que se forman dentro de la matriz. De esta forma, se puede considerar que todo el material está formado por pequeñas entidades (denominadas a continuación como granos), que pueden encontrarse en uno de los diferentes estados martensíticos. La discretización (cartesiana) más simple posible es usar pequeños granos cúbicos con una longitud de borde a. Se supone que todos los granos son coherentes (los desplazamientos elásticos y las tracciones son continuas en las interfaces entre los granos), y usamos elasticidad homogénea, es decir, ignoramos las diferencias en las constantes elásticas entre las diferentes fases o variantes. Esto tiene como consecuencia que la energía elástica se reduce a combinaciones de interacciones por pares entre todos los granos37.

Con fines demostrativos, realizamos aquí simulaciones bidimensionales en una configuración de deformación plana, pero la transferencia a tres dimensiones es sencilla. En particular, la parte de recocido no depende de la dimensionalidad de la descripción. El aspecto cualitativamente nuevo más allá de 1D es la aparición de interacciones de "espín-espín" dependientes de la distancia y la orientación, que decaen lentamente con la distancia entre los granos y, por lo tanto, conducen a matrices completamente pobladas \(J_{ij}\). Como resulta que una determinación precisa de la energía de interacción elástica es esencial para una predicción precisa de la microestructura de equilibrio, utilizamos enfoques de transformación de Fourier con condiciones de contorno periódicas como se describe en la sección de métodos. Como condiciones de contorno, usamos la tensión promedio que se desvanece en el volumen periódico V, \(\langle \sigma _{ij} \rangle = \frac{1}{V} \int \sigma _{ij}(\textbf{r })\,d\textbf{r} = 0\), o, de forma similar a la descripción 1D, una deformación media dada \(\langle \varepsilon _{ij} \rangle\). Empleamos a continuación por simplicidad la elasticidad isotrópica, que se describe, por ejemplo, mediante el coeficiente de Lamé \(\lambda\) y el módulo de corte \(\mu\), es decir, la relación tensión-deformación se lee \(\sigma _{ij} = 2\mu (\varepsilon _{ij}-\varepsilon _{ij}^{(0)}) + \lambda \delta _{ij} (\varepsilon _{kk}-\varepsilon _{kk}^{ (0)})\), donde se utiliza la suma implícita sobre índices repetidos. La deformación propia dependiente de la posición \(\varepsilon _{ij}^{(0)}(\textbf{r})\) se conoce para una microestructura dada con deformaciones libres de estrés dependientes de la fase fija (en relación con la fase madre austenítica), \ (\varepsilon _{ij}^{(0)}(\textbf{r}) = \theta (\textbf{r}) \varepsilon _{ij}^0\), donde la función indicadora \(\theta\ ) es cero en la austenita y \(+1\) o \(-1\) en las dos variantes de martensita consideradas. Para una microestructura dada, la energía elástica se puede calcular en el espacio recíproco, como se muestra en la sección de métodos. Para la formulación como modelo de Ising, discretizamos nuestra microestructura utilizando pequeños granos cúbicos que no se superponen, como se mencionó anteriormente, y asignamos un "giro" \(s_i\) a cada uno de ellos como antes, de modo que el campo indicador se convierte en una superposición \(\theta (\textbf{r}) = \sum _i s_i \theta _i(\textbf{r})\), donde \(\theta _i\) es igual a uno dentro del cuadrado correspondiente y cero fuera. Por lo tanto, la energía elástica se descompone en interacciones por pares (para \(i\ne j\)) y términos de energía propia (para \(i=j\))

donde el núcleo integral \(B(\textbf{r})\) se define a través de la inversa de la función de Green elástica. Por lo tanto, es suficiente realizar los cálculos de energía de transformada de Fourier para todos los pares de la misma variante de martensita \(s_i=s_j=1\) en los sitios de red discretos en el volumen V; para condiciones de contorno periódicas y formas de grano idénticas, es suficiente calcular la energía de interacción elástica entre un grano de referencia y todos los demás granos, debido a la invariancia de traslación. En el caso de condiciones límite de deformación promedio fijas, aparece un término homogéneo adicional (consulte la sección de métodos), que contribuye tanto a la interacción espín-espín \(J_{ij}\) como al término del campo magnético \(h_i\), que está ausente para condiciones de contorno de tensión media cero. La matriz totalmente poblada resultante de constantes de acoplamiento con entradas tanto positivas como negativas tiene similitudes con los sistemas de vidrio giratorio con acoplamientos aleatorios, que se han investigado en la literatura con enfoques convencionales, véase, por ejemplo, 38.

Para el caso más simple en el que la tensión propia es puramente dilatacional e isotrópica, se aplica el teorema de Bitter-Crum y la energía total depende solo de la fracción de volumen de la variante de martensita, donde no hay interacción entre los granos y solo queda un término de autoenergía39.

Para una interacción elástica no trivial y el vínculo con la descripción 1D anterior, consideramos una deformación por transformación de corte con \(\varepsilon _{xy}^0=\varepsilon _{yx}^0=\varepsilon_0\), donde todas las demás los componentes desaparecen. En este caso, obtenemos una interacción dependiente de la distancia y la orientación como se muestra en la Fig. 2a, que se calcula aquí para el caso de tensión promedio que se desvanece, \(\langle \sigma _{ik}\rangle =0\). Aquí y en las siguientes partes, la relación de Poisson se elige como \(\nu =1/4\) (es decir, \(\lambda =\mu\)).

Energías de interacción de dos granos de igual tipo variante (\(\mathbf {s_i=s_j}\)). Energías de interacción en el caso de (a) tensión propia de cizallamiento y tensión media que desaparece y (b) tensión propia tetragonal. La energía de interacción por longitud se da en unidades de \(\lambda a^3 \varepsilon _0^2\), y los cálculos se realizaron utilizando un tamaño de sistema de \(L_x/a=L_y/a=50\), donde a es la longitud del borde de los granos. A la distancia \(r/a=0\) los granos se tocan entre sí. Los símbolos en las curvas continuas indican la información para la interacción en sitios de red discretos, que en realidad se usa en las simulaciones de recocido.

La energía de interacción se obtiene restando las energías propias elásticas \(E_\text{self}\) para cada uno de los dos granos de martensita (aislados) dentro de la matriz austenítica de la energía elástica total \(E_\text{el}\) de la disposición de dos granos, es decir, \(E_\text{int}=E_\text{el}-2E_\text{self}\), para normalizar la energía de interacción de modo que decaiga a cero para grandes separaciones de granos. Para distancias cortas, se encuentra una transición entre atracción y repulsión para la dirección \(\langle 100\rangle\), mientras que para las direcciones diagonales \(\langle 110\rangle\) resulta una interacción puramente repulsiva. Debido a las condiciones de contorno periódicas, el resultado depende del tamaño del sistema \(V=L_x\times L_y\), ya que los granos también interactúan con sus imágenes periódicas, por lo que se requiere \(r\ll L_x, L_y\) para observar la decadencia de la interacción.

Observamos que en dos dimensiones la energía de interacción decae asintóticamente como \(r^{-2}\), mientras que en tres dimensiones escala como \(r^{-3}\) en sistemas grandes, lo que se deriva de la elasticidad de Green función40. Para la implementación del recocido cuántico, las energías de interacción son necesarias solo para los puntos de red discretos (símbolos en las curvas). Aunque el decaimiento de la interacción elástica puede sugerir cortarla más allá de una cierta distancia en el espacio real, resulta que tal enfoque es inapropiado, ya que conduce al final a microestructuras de equilibrio inválidas y, por lo tanto, es esencial mantener todas términos de interacción \(J_{ij}\) con alta precisión para evitar efectos espurios. Notamos que la formulación en el recocido cuántico no depende de la dimensionalidad, por lo tanto, el diagrama de escala en la Fig. 1b también se aplica aquí.

Con base en el cálculo de las interacciones elásticas, obtenemos de la implementación del modelo de Ising en el recocido cuántico con patrones de franjas de solucionador híbrido en la dirección \(\langle 100\rangle\) como estructuras de equilibrio. Estos patrones son irregulares en el sentido de que los anchos de las rayas no son uniformes. Esto es una analogía con el modelo 1D, que se discutió anteriormente, donde encontramos que la disposición de las dos variantes no está determinada. Esta coincidencia, que se espera físicamente, no es trivial a partir de la formulación del modelo, ya que (i) en el modelo 1D tuvimos una interacción independiente de la distancia en el modelo discretizado, donde aquí la interacción es significativamente más compleja, pero suma la misma interacción efectiva. descripciones para el arreglo periódico; (ii) es posible una rotación del patrón de 90 grados y, a veces, se obtiene a partir de la configuración óptima debido a la simetría rotacional discreta; (iii) la fijación de la tensión media en comparación con la deformación media dada en la formulación 1D puede dar lugar a distribuciones desiguales de las diferentes variantes. En particular, para la ausencia actualmente considerada de una tensión externa (lo que implica un campo magnético que se desvanece en la terminología de Ising), no existe una restricción del tipo \(\langle s_i\rangle = 0\) para la alineación de espín promedio. Todas las configuraciones de franjas son energéticamente equivalentes, lo que incluye la posibilidad de una configuración de variante única. Por lo tanto, estos resultados confirman simultáneamente la precisión del cálculo de la interacción elástica con la descomposición por pares, así como la capacidad del recocido cuántico para identificar las verdaderas configuraciones del estado fundamental.

Como siguiente ejemplo, usamos una tensión propia tetragonal con los únicos componentes que no desaparecen \(\varepsilon _{xx}^0=-\varepsilon _{yy}^0=\varepsilon _{zz}^0=\varepsilon_0\). Primero, volvemos a considerar la situación con tensión media que se desvanece, \(\langle \sigma _{ij}\rangle = 0\). La energía de interacción correspondiente se muestra en la Fig. 2b para \(\nu =1/4\). En este caso, la microestructura de equilibrio es trivial y consta de una sola variante, ya que en este caso la energía elástica es cero para el sistema periódico. Por lo tanto, la situación difiere de la transformación de cortante anterior, donde también los arreglos laminares con ambas variantes conducen a situaciones libres de estrés. La razón es que cualquier interfaz entre dos variantes conduce a un desajuste entre variantes adyacentes para la transformación tetragonal y, por lo tanto, tal situación es energéticamente desfavorable aquí. Un cambio de las condiciones de contorno a la deformación media que se desvanece, \(\langle \varepsilon _{ij}\rangle =0\), altera la situación, ya que entonces se prefieren arreglos con cantidades iguales de ambas variantes, ya que esto reduce la parte volumétrica de la energía elástica. En este caso, encontramos franjas inclinadas regulares como patrón de equilibrio, como se muestra en la Fig. 3a.

Patrones de rayas resultantes para la tensión propia tetragonal. (a) Estructura de equilibrio con tres pares de franjas (contadas a lo largo del eje horizontal) en un sistema que consta de \(50\times 50\) granos cúbicos. Se impone una deformación media que desaparece, \(\langle \varepsilon _{ij}\rangle =0\). El ancho de las franjas es uniforme, consistiendo en granos con configuración \(s_i=+1\) (rojo) y \(s_i=-1\) (verde). (b) Energía elástica de patrones de rayas con diferentes ángulos de inclinación \(\phi .\) Las curvas sólidas corresponden a rayas suaves (el tamaño de grano \(a/L_x, a/L_y\ll 1\) es despreciable) y muestran un punto estacionario pronunciado para inclinaciones para las cuales el patrón se repite periódicamente sin torceduras en los límites. Los cuadrados corresponden a situaciones con el mismo número de franjas, donde el sistema está discretizado por \(50\times 50\) granos cuadráticos, lo que genera efectos de aliasing pronunciados, y la energía elástica resultante es mayor que para las franjas suaves. Esto cambia el mínimo energético para 6 pares de rayas en \(\phi \approx 40^\circ\) a un ángulo más bajo \(\phi \approx 33^\circ\) con 3 pares de rayas. El límite de tamaño del sistema infinito para franjas suaves se representa como una curva de puntos negros.

De nuevo, la solución no es única; en particular, debido a la invariancia de la traducción, el recocido también devuelve configuraciones en las que las franjas están desplazadas. Además, un cambio del signo del ángulo de inclinación \(\phi\) (ver definición en la figura) conduce a soluciones energéticamente equivalentes. Sin embargo, no encontramos configuraciones de estado fundamental que conduzcan a diferentes ángulos de inclinación (absolutos) o anchos de banda o incluso variaciones irregulares de estos últimos, al contrario del caso anterior de transformación de cortante.

La razón de las morfologías del estado fundamental observadas es una combinación de efectos de elasticidad continuos, la estructura granular del material y las restricciones inducidas por las condiciones de contorno periódicas. La figura 3b muestra la energía elástica calculada para diferentes números de arreglos regulares de rayas en el sistema periódico como función del ángulo de inclinación \(\phi\). Aquí vemos una influencia pronunciada del tamaño del grano, ya que la energía elástica de las configuraciones con pares de franjas regulares con una discretización de \(50\times 50\) granos (cuadrados en la figura) es mayor que para los casos correspondientes con granos muy finos. , donde los efectos de discretización ya no juegan un papel (curvas suaves). La naturaleza oscilante se debe a las condiciones periódicas de los límites, ya que las elecciones incorrectas del ángulo de inclinación conducen a discontinuidades en los patrones de franjas en los límites, lo que es energéticamente desfavorable. Por lo tanto, los patrones continuos corresponden a los puntos estacionarios de las curvas. Para ángulos específicos, las curvas para tres y seis pares de franjas se encuentran en mínimos locales, lo cual es una consecuencia de la invariancia de escala de la elasticidad lineal. A partir de las curvas límite suaves y continuas, se podría concluir que un ángulo de aproximadamente \(\phi \approx 40^\circ\) debería conducir a la configuración energéticamente más baja (mínimo absoluto de la curva roja suave). Además, en el límite de los sistemas infinitos, donde las condiciones de frontera periódicas ya no juegan un papel, es posible un tratamiento analítico que conduce a la expresión de energía \(E_\text{el}^\infty = VB(n)/2\ ) para la misma fracción de volumen de las dos variantes con

con \(n=\cos \phi\). La minimización de energía da el ángulo óptimo \(\phi =\cos ^{-1}\sqrt{5/8}\approx 37.8^\circ\), ver Fig. 3b (mínimo de la curva de puntos negros).

Sin embargo, estas predicciones no concuerdan con el hallazgo del recocido cuántico, que favorece una configuración con tres pares de franjas en un ángulo menor de \(\phi \approx 33^\circ\). Esta observación puede entenderse al considerar la estructura granular de los patrones investigados aquí, ya que la microestructura en las simulaciones de recocido consta de \(50\times 50\) granos cuadrados. Primero, la aparición explícita de la escala de longitud a rompe la invariancia de escala del patrón periódico y, por lo tanto, los mínimos de las curvas de energía pertenecientes a las microestructuras discretas (cuadrados en la Fig. 3b) ya no coinciden en los mínimos locales. Además, a medida que aumenta la inclinación, los efectos de antialiasing de los patrones se vuelven más relevantes y, por lo tanto, las curvas de energía muestran un desacuerdo creciente con las curvas límite del continuo. Como resultado, el mínimo energético en la microestructura discreta se desplaza hacia una configuración con tres pares de franjas en \(\phi \approx 33^\circ\) (mínimo absoluto de los cuadrados azules en la Fig. 3b), lo cual está de acuerdo con la predicción del recocido cuántico. En consecuencia, los detalles de la estructura granular pueden cambiar la energía en comparación con una aproximación de continuo completo, especialmente porque muchos mínimos locales de la energía elástica se encuentran cerca unos de otros.

El enfoque presentado anteriormente no se limita a granos cúbicos que interactúan entre sí, sino que también se puede aplicar a microestructuras realistas. Para ilustrar los procedimientos, hemos generado una microestructura que consta de \(N=400\) granos utilizando un teselado de Voronoi41. A cada grano se le permite tomar una de dos variantes de martensita con el tensor de deformación propia tetragonal, y calculamos previamente todas las interacciones elásticas mutuas entre ellos. Observamos que, contrario al caso de los granos cúbicos en una matriz periódica, aquí no podemos explotar la invariancia traslacional debido a las diferentes formas de los granos y, por lo tanto, estos cálculos de energía de interacción elástica escalan aquí como \({{\mathcal {O}} }(N^2)\) en lugar de \({{\mathcal {O}}}(N)\) antes, aunque todavía usamos condiciones de frontera periódicas. Además, ahora consideramos tensiones externas dadas arbitrarias \(\langle \varepsilon _{ij}\rangle\), lo que conduce a la aparición de un término "magnético" como en la descripción unidimensional. Con eso, podemos predecir la distribución variante de equilibrio dentro de la microestructura utilizando el recocido cuántico híbrido, y este paso generalmente se ejecuta dentro de unos segundos de tiempo de ejecución.

En la Fig. 4 se muestran ejemplos de microestructuras de equilibrio en función de la tensión aplicada externamente \(\langle \varepsilon _{xx}\rangle\), mientras que los otros componentes de tensión promedio desaparecen.

Distribución variante de equilibrio resultante con orientación de grano uniforme. Las microestructuras constan de 400 granos y la tensión de tracción se aplica en dirección horizontal (x). Los granos rojos (verdes) corresponden a la variante \(s_i=+1\) (\(s_i=-1\)). La tensión de tracción es (a) \(\langle \varepsilon _{xx}\rangle /\varepsilon _0 = 0\), (b) \(\langle \varepsilon _{xx}\rangle /\varepsilon _0 = 0.1\ ), (c) \(\langle \varepsilon _{xx}\rangle /\varepsilon _0 = 0,5\), (d) \(\langle \varepsilon _{xx}\rangle /\varepsilon _0 = 0,9\), (e) \(\langle \varepsilon _{xx}\rangle /\varepsilon _0 = 1,1\) y (f) \(\langle \varepsilon _{xx}\rangle /\varepsilon _0 = 1,3\).

Las microestructuras observadas son efectivamente similares a las que hemos encontrado antes usando la discretización al cuadrado, aunque aquí los anchos de banda y la orientación se desvían del caso anterior debido a detalles microestructurales y al menor número de granos, y estos efectos pueden explicarse usando un análisis similar al hecho para la Fig. 3b. Observamos que en estas microestructuras todos los granos tienen la misma orientación, y por lo tanto la aplicación de una deformación por tracción favorece fuertemente la selección de la variante de grano \(s_i=+1\) (para una situación de compresión observamos el comportamiento opuesto), y encontramos una alineación completa de todas las variantes en la última instantánea.

Además, hemos realizado el mismo análisis para granos con orientación aleatoria distribuida uniformemente, lo que implica una rotación del tensor de deformación de transformación local, consulte la Fig. 5 para las orientaciones de grano y para la selección de variantes.

Distribución variante de equilibrio resultante con orientación de grano aleatoria. ( a ) Mapa de orientación de grano correspondiente a las microestructuras. En la barra de colores, el ángulo de rotación del grano se expresa en radianes (módulo \(\pi\) debido a la simetría). El eje de rotación está a lo largo de la dirección [001]. Las microestructuras constan de 400 granos y la tensión de tracción se aplica en dirección horizontal (x). Los granos tienen una orientación aleatoria, que es la misma para todos los casos, en base a una distribución uniforme. La deformación por tracción en dirección horizontal es (b) \(\langle \varepsilon _{xx}\rangle /\varepsilon _0 = 0\) y (c) \(\langle \varepsilon _{xx}\rangle /\varepsilon _0 = 2.1\). Los granos rojos (verdes) corresponden a la variante \(s_i=+1\) (\(s_i=-1\)).

Aquí, también la distribución espacial equilibrada de las variantes parece ser irregular. La aplicación de una deformación por tracción nuevamente favorece la "alineación" de la variante, pero esta vez, incluso para deformaciones altas, no todos los granos seleccionan la misma variante, lo que se debe a la rotación local. De hecho, un grano, que gira \(90^\circ\) con respecto a la dirección de deformación, tiene preferencia por estar en estado variante \(s_i=-1\), ya que entonces la dirección de expansión está alineada con la tensión de tracción externa. Esto se puede ver claramente, por ejemplo, en la Fig. 5 (c) para la deformación por tracción más alta en la dirección x, donde los parches restantes con "giro" \(s_i=-1\) corresponden a los granos con una orientación cercana a \(\pi /2\) (o \(3\pi /2\)). Hacemos hincapié en que para una microestructura dada (formas de todos los granos), las interacciones mutuas elásticas grano-grano deben calcularse solo una vez. Como se mencionó anteriormente, este paso debe realizarse con alta precisión y, en consecuencia, este es el paso que exige la mayor cantidad de tiempo de cálculo. Después de eso, todos los cambios de las condiciones de contorno externas afectan solo al modo \(k=0\) que contribuye a las interacciones \(J_{ij}\) y \(h_i\), y estos términos pueden calcularse analíticamente (ver métodos sección). Como cada cálculo de recocido cuántico híbrido normalmente requiere solo unos segundos, el cambio microestructural completo durante la carga mecánica se puede calcular extremadamente rápido.

El resultado central del presente documento es la optimización de microestructuras mostrada a través del recocido cuántico, que muestra una clara ventaja de rendimiento del enfoque novedoso en comparación con las estrategias convencionales de minimización de energía. No se recomienda el enfoque de fuerza bruta, mientras que los algoritmos de recocido simulado optimizados producen buenos resultados. Sin embargo, el recocido cuántico representa, con mucho, el método más rápido para problemas de optimización, particularmente para sistemas con un alto número de granos (espines) y constantes de acoplamiento y sesgos que no desaparecen, y permite la determinación de configuraciones de estado fundamental para tamaños de sistemas, que no son accesibles. para los algoritmos clásicos en escalas de tiempo de computación razonables.

Para un sistema que consta de N granos, necesitamos calcular \({{\mathcal {O}}}(N^2)\) interacciones espín-espín. Estos cálculos de energía elástica deben realizarse con gran precisión y, por lo tanto, dominan el tiempo total de cálculo. Después de eso, las configuraciones de espín \({{\mathcal {O}}}(2^N)\) deben compararse para identificar la configuración de equilibrio. Para el algoritmo convencional, este paso combinatorio ya domina el esfuerzo computacional total para valores bajos de N. En contraste, con el recocido cuántico o su variante híbrida, el tiempo de cálculo para la minimización de la expresión de energía de Ising es completamente insignificante en comparación con la interacción elástica. calculos de energia Por lo tanto, hemos demostrado que QA es capaz de optimizar drásticamente la búsqueda de estados de equilibrio microestructural en fases sólidas con interacciones elásticas de largo alcance. Ya hoy, el uso del recocido cuántico híbrido permite el cálculo de microestructuras con varios miles de granos que interactúan entre sí, lo cual es esencial para un modelado realista de microestructuras dentro de varios materiales.

Para muchas investigaciones relevantes de aplicaciones, es fundamental comprender si se pueden formular modelos y cómo se pueden utilizar para la computación cuántica. Hemos demostrado esto aquí para el caso particular de interacciones elásticas de largo alcance. Las extensiones hacia la consideración de energía interfacial, múltiples variantes de martensita, elasticidad anisotrópica, relaciones de orientación entre granos y fases y diferentes dimensiones espaciales son obvias, ya que no influyen conceptualmente en la estrategia presentada de formular el problema en términos de un modelo de Ising. La elasticidad no homogénea y la proximidad a superficies libres pueden conducir efectivamente a interacciones de muchos cuerpos, para las cuales las extensiones perturbativas o la introducción de variables de espín del producto son direcciones prometedoras37,42. Más allá de los efectos puramente elásticos, otras aplicaciones potenciales comprenden cambios de fase en baterías de estado sólido multifásicas, transformaciones de fase en aceros de alta resistencia u otros materiales como ferroeléctricos. En general, la separación de los grados de libertad continuos y discretos y el tratamiento cuántico de este último también pueden ser beneficiosos para las descripciones de recocido cuántico y de campo de fase híbrida que combinan una selección de variantes con una evolución de la morfología del grano de una manera eficiente para reducir drásticamente las demandas de tiempo de cálculo. de los enfoques existentes para la aplicación de tamaños de muestra relevantes.

Al igual que las computadoras cuánticas de propósito general, un recocido cuántico se construye a partir de qubits, que aquí almacenan y procesan información utilizando bucles superconductores. Una corriente que circula en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario a las agujas del reloj en un bucle de este tipo representa diferentes estados de espín12. En cada qubit, los bucles superconductores interactúan con sesgos de flujo externo, lo que permite construir un paisaje energético, donde los flujos influyen en la altura de la barrera y la diferencia de energía12. Al comienzo del cálculo, el sistema se inicializa en el estado fundamental de un hamiltoniano conocido \(H_0\sim -\sum _i \sigma _i^x\) con matrices de Pauli \(\sigma _i\), es decir, una fuerte transversal campo magnético13,43. Durante el proceso de recocido, el hamiltoniano se convierte en el deseado según un modelo de Ising11 \(H_p = \sum _ih_is_i+\sum _{i

Como en la práctica, este enfoque no siempre proporciona el estado de energía más bajo, especialmente si existen estados de energía baja energéticamente cercanos, se realiza un número adecuado de repeticiones y se toma la configuración con la energía detectada más baja. Si los problemas de Ising no coinciden con la arquitectura de la QPU, un subgrafo de qubits acoplados, conocidos como cadenas, cubre una variable del problema en el llamado embedding menor36,46. Además, para sistemas enormes, el recocido cuántico híbrido aprovecha los algoritmos clásicos y la interacción con el recocido cuántico en áreas de alta demanda computacional utilizando un coprocesador QPU que trabaja con parámetros genéricos para hasta 11616 variables de espín en el sistema D-Wave Advantage36,47. En la práctica, el marco D-Wave Leap48 permite una formulación directa en términos de un problema Ising hamiltoniano.

Para N espines, calculamos la energía de todas las \(2^N\) configuraciones posibles para determinar el mínimo. Este enfoque determinista proporciona la verdadera energía del estado fundamental, pero requiere un gran esfuerzo computacional.

Para este enfoque probabilístico49 se elige una configuración inicial aleatoria. Se acepta una nueva configuración candidata, que generamos aquí con un solo giro, si su energía es menor que el valor anterior. Si la energía es mayor en una cantidad \(\Delta E\), la configuración se acepta con una probabilidad dada por el factor de Boltzmann \(\exp (-\Delta E/T)\), para no quedar atrapado en mínimos energéticos locales. Durante la simulación, la temperatura T se reduce de acuerdo con una estrategia de enfriamiento específica, para converger hacia un mínimo energético al final de la simulación. Como nuestro objetivo principal no es maximizar el rendimiento de los algoritmos (clásicos), sino demostrar el comportamiento general de escalado, nos abstenemos de una discusión detallada de la optimización de parámetros del enfoque de recocido simulado probabilístico. Esto incluye, en particular, el uso de criterios de parada adecuados cuando no se produzca una mayor reducción de la energía, así como el uso de estrategias de refrigeración adaptadas al problema. Para el enfoque de recocido simulado, usamos pruebas de giros de un solo giro en cada iteración, y la temperatura T se reduce cada vez en \(\Delta T/\mu _\text{eff}\varepsilon _0^2d ^2 = 10^{- 6}\), que ofrece un buen rendimiento para sistemas de gran tamaño. Las simulaciones se detienen después de un número fijo de \(10^{7}\) pasos, que está optimizado para el sistema de espín más grande considerado con \(N=150\) en la Fig. 1b, lo que lleva a una escala del tiempo de cálculo \(\sim N^2\) debido al cálculo de la energía de interacción.

Resolvemos el problema elástico de una configuración multigrano con elasticidad lineal homogénea, es decir, se supone que todas las variantes y fases tienen las mismas constantes elásticas. Además, se suponen interfases coherentes, lo que significa continuidad de desplazamientos en las interfases. Las variantes de martensita tienen diferentes deformaciones libres de tensión (o deformaciones propias) en comparación con la fase madre austenita, por lo que la relación tensión-deformación se lee para la elasticidad lineal general \(\sigma _{ij} = \lambda _{ijkl}(\varepsilon _{ kl}-\varepsilon _{kl}^{(0)})\), donde \(\varepsilon _{kl}^{(0)}(\textbf{r})\) es el tensor de deformación libre de tensión local y \(\lambda _{ijkl}\) el tensor elástico. Determinamos la configuración de equilibrio elástico, que obedece a la condición \(\partial \sigma _{ij}/\partial x_j=0\) en dominios volumétricos y la continuidad de las tensiones normales en las interfaces, usando enfoques de transformación de Fourier32. A partir de eso, la energía elástica se puede calcular en el espacio recíproco como32

para un sistema periódico con tensión media nula como condición límite, donde \(\hat{\theta }(\textbf{k})\) es la transformada de Fourier del campo indicador \(\theta (\textbf{r})\ ) y \(B(\textbf{n})\) con \(\textbf{n}=\textbf{k}/k\) igual a \(B(\textbf{n}) = \sigma _{ij} ^0\varepsilon _{ij}^0 - n_i \sigma _{ij}^0 \Omega _{jk} \sigma _{kl}^0 n_l\) con \(\sigma ^0_{ij}=\lambda _ {ijkl}\varepsilon_{kl}^0\). Aquí, \(\Omega _{ij}(\textbf{n})\) es el tensor de Green normalizado para desplazamientos, que se define a través de su inversa como \(\Omega _{ik}^{-1} = \lambda _ {ijkl}n_j n_l\). La suma en la Ec. (3) es sobre vectores discretos debido a las condiciones de frontera periódicas en el espacio real. La sumatoria es, en principio, infinita, y puede calcularse eficientemente utilizando la técnica de decoración50. Para condiciones de contorno de deformación media, es decir, un valor prescrito de \(\langle \varepsilon _{ij}\rangle\), aparece una contribución homogénea adicional (\(\textbf{k}=0\)) en la ecuación. (3), que dice \(E_\text{hom} = V \lambda _{ijkl} (\langle \varepsilon _{ij}\rangle - \langle \varepsilon _{ij}^{(0)}\rangle ) (\langle \varepsilon _{kl}\rangle - \langle \varepsilon _{kl}^{(0)}\rangle )/2\), que se puede calcular analíticamente.

Los datos que se obtuvieron durante este proyecto estarán disponibles a pedido del autor correspondiente.

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Descargar referencias

Esta investigación fue financiada por el Ministerio Federal Alemán de Educación e Investigación (BMBF) a través del proyecto Meet HiEnD 3 y el proyecto Helmholtz ZeDaBase. El acceso abierto fue financiado por Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG, Fundación Alemana de Investigación) - 491111487. Los autores agradecen al Centro de Supercomputación de Jülich (https://www.fz-juelich.de/ias/jsc) por financiar este proyecto al proporcionar computación tiempo en el sistema D-Wave \(\hbox {Advantage}^{\text{TM}}\) JUPSI a través de la infraestructura unificada de Jülich para computación cuántica (JUNIQ).

Financiamiento de acceso abierto habilitado y organizado por Projekt DEAL.

Estructura y función de los materiales, Instituto de Investigación de Energía y Clima, Forschungszentrum Jülich GmbH, 52425, Jülich, Alemania

Roland Sandt y Robert Spatschek

Universidad Paris-Saclay, ONERA, CNRS, Laboratorio para el estudio de las microestructuras, 92320, Châtillon, Francia

Yann Le Bouar

JARA-ENERGY, 52425, Jülich, Alemania

Roberto Spatchek

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R.Sa., YLB y R.Sp. contribuyó a cálculos analíticos y numéricos, metodología, visualización y análisis. Todos los autores contribuyeron a escribir el manuscrito.

Correspondencia a Roland Sandt.

Los autores declaran no tener conflictos de intereses.

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Reimpresiones y permisos

Sandt, R., Le Bouar, Y. & Spatschek, R. Recocido cuántico para el equilibrio de microestructuras con interacciones elásticas de largo alcance. Informe científico 13, 6036 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-33232-w

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Recibido: 24 enero 2023

Aceptado: 10 de abril de 2023

Publicado: 13 abril 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-33232-w

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